5. 物體的變換

我們經常會對物體做一些變換，比如放大縮小，移動位置。其中例如原地旋轉，尺寸縮放，甚至歪斜這類不改變物體原點的變換，被叫做線性變換。線性變換都可以用矩陣乘上原式數據來計算。

比如在平面上，我們要把一組數據 $(x, y)$ 放大 3/2 倍，我們可以這樣表示：

$$\begin{bmatrix} 3/2 & 0\\ 0 & 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3/2x\\ 3/2y \end{bmatrix}$$

而旋轉的變換可以用三角函數相關的矩陣來表示，比如我們想要旋轉 $\theta$ 度：

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\cos\theta-y\sin\theta\\ x\sin\theta+y\cos\theta \end{bmatrix}$$

如果我們想要將這些線性變換組合在一起，我們可以把這些矩陣相乘。比如我們先放大 3/2 倍，然後再旋轉 $\theta$ 度：

$$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3/2 & 0\\ 0 & 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3/2x\cos\theta-3/2y\sin\theta\\ 3/2x\sin\theta+3/2y\cos\theta \end{bmatrix}$$

像平移這樣的變換，就不是用矩陣乘來表示，而是用加法：

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+t_x\\ y+t_y \end{bmatrix}$$

這樣我們就把 $(x,y)$ 平移了 $(t_x,t_y)$。這類不是用乘法的變換則是非線性變換。

如果此時，我對物品的一系列變換的組合感興趣，其中包含線性或非線性。比如我想要對一個物體放大、平移、旋轉，再放大，再平移：

$$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3/2 & 0\\ 0 & 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \bigg( \begin{bmatrix} 3/2 & 0\\ 0 & 3/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix} \bigg)+ \begin{bmatrix} t_x'\\ t_y' \end{bmatrix}$$

僅僅是這樣，我們的表達式已經開始變得混亂。但如果這樣的操作要嵌套幾十層，那麼我們的表達式會複雜的難以想象。我們希望盡可能的只用乘法來表示所有的變換，這樣我們的式子就能簡潔很多。

齊次坐標

對於矩陣加法來說，我們可以寫成：

$$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& \begin{bmatrix} t_x\\ t_y \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ 1 \end{bmatrix}$$

如果我們把它寫開變成 3 維：

$$\begin{bmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+t_x\\ y+t_y\\ 1 \end{bmatrix}$$

原本我們在 2 維時的非線性平移變換，增加一個維度變成 3 維後，就可以用矩陣乘法來表示了。這樣的增加維度的方法，就是齊次坐標。我們可以把 2 維的點 $(x,y)$ 變成 3 維的點 $(x,y,1)$，這樣我們就可以用矩陣乘法來表示平移了。

這種通過增加一個維度的方法就是齊次坐標。我們規定，三維中一個點 $(x,y,z)$ 的齊次坐標是 $(x,y,z,1)$。而如果我們要把一個齊次坐標 $(x,y,z,w)$ 變回普通坐標，我們可以這樣做：

$$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{bmatrix}\implies \begin{bmatrix} x/w\\ y/w\\ z/w \end{bmatrix}$$

也就是說，在齊次坐標中,$\forall a \neq 0$

$$\begin{bmatrix} ax\\ ay\\ az\\ aw \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x/w\\ y/w\\ z/w \end{bmatrix}$$

而當 $w=0$ 時，我們就認為這個點是無窮遠的。

當我們想要做任何變換時，只需要把原本的坐標轉成齊次坐標，變換後再把齊次坐標轉回普通坐標。這樣我們就可以用矩陣乘法來表示所有的變換了。

我們可以把上次透視投影的變換用齊次坐標來表示。可以發現，x 和 y 的變換是一樣的，都是除上 $1-z/c$。根據齊次坐標的轉換規則，我們會希望第四個維度表示成 $1-z/c$。所以我們可以把透視投影的變換寫成：

$$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&-1/c&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1-z/c \end{bmatrix}\implies \begin{bmatrix} x/(1-z/c)\\ y/(1-z/c)\\ z/(1-z/c) \end{bmatrix}$$

這裡我們同樣保留 z 軸的深度信息。

let mut projection = Matrix::identity(4);
projection[(3, 2)] = -1.0 / camera.z;
let screen_coords = [
    world_to_screen(m2v(&projection * &v2m(ver[0]))),
    world_to_screen(m2v(&projection * &v2m(ver[1]))),
    world_to_screen(m2v(&projection * &v2m(ver[2]))),
];

其中 m2v 和 v2m 齊次坐標和普通坐標的轉換函數。

fn v2m(v: &Vertex<f32>) -> Matrix {
    let mut m = Matrix::new(4, 1);
    m[(0, 0)] = v.x;
    m[(1, 0)] = v.y;
    m[(2, 0)] = v.z;
    m[(3, 0)] = 1.0;
    m
}

fn m2v(m: Matrix) -> Vertex<f32> {
    Vertex {
        x: m[(0, 0)] / m[(3, 0)],
        y: m[(1, 0)] / m[(3, 0)],
        z: m[(2, 0)] / m[(3, 0)],
    }
}

坐標系變換

單獨一個物體的數據，大多是以自身的坐標系為基礎的。但我們把一個物體放到另一個空間中時，就需要根據坐標的改變來對物體的數據進行變換。

在歐式空間中，向量可以由原點和基底（base）來表示。假如 P 點在坐標系 (O,i,j,k) 中的坐標是 (x,y,z)，那麼 OP 向量可以表示為：

$$\vec{OP}=\vec{i}x+\vec{j}y+\vec{k}z \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$$

如果我們有另一套坐標系 (O',i',j',k')，P 點在這套坐標系中的坐標是 (x',y',z')，如果我們還知道 O' 相對於 O 的位置，即在 O 坐標系中 OO' 向量：

那麼我們可以把 OP 向量重新表示為：

$$\vec{OP} = \vec{OO'} + \vec{O'P} = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} O_x'\\ O_x'\\ O_z' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \vec{i'} & \vec{j'} & \vec{k'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix}$$

因為 $(i,j,k)$ 和 $(i',j',k')$ 都是基底，是從原點出發的向量。所以存在一個矩陣 $M$，使得：

$$\begin{bmatrix} \vec{i'} & \vec{j'} & \vec{k'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{bmatrix} M$$

因此

$$\vec{OP}= \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \end{bmatrix} \bigg( \begin{bmatrix} O_x'\\ O_x'\\ O_z' \end{bmatrix}+ M \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix} \bigg)$$

也就是說

$$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} O_x'\\ O_x'\\ O_z' \end{bmatrix}+ M \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{bmatrix}= M^{-1}\bigg( \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} O_x'\\ O_x'\\ O_z' \end{bmatrix} \bigg)$$

移動相機

如果我們想要觀察一個物體或者世界的不同角度，我們可以移動相機。但我們也可以反過來移動物體，讓相機固定在原地。比如我想要通過相機觀察物體的右側，那我可以把物體向相反的方向，也就是左側移動。

我們假設相機的位置在 $e$ 點，並且面向 $c$ 點，而 $\vec{u}$ 向量則是指向相機正上方。那麼 (c, x',y',z') 坐標就時我們屏幕的坐標系。而物體的數據是在 (O, x,y,z) 坐標系中的。因此我們需要計算把 (O, x,y,z) 坐標系變換到 (c, x',y',z') 坐標系。而我們要給的參數則是在 (O, x,y,z) 坐標系中的相機的位置、渲染的坐標系原點、以及指向相機上方向量。

fn lookat(eye: &Vertex<f32>, center: &Vertex<f32>, up: &Vertex<f32>) -> Matrix {
    let z = (eye - center).normalize();
    let x = (*up ^ z).normalize();
    let y = (z ^ x).normalize();
    let mut m = Matrix::identity(4);
    let mut tr = Matrix::identity(4);
    for i in 0..3 {
        m[(i, 0)] = x[i];
        m[(i, 1)] = y[i];
        m[(i, 2)] = z[i];
        tr[(0, 3)] = -center.x;
    }
    let m_inv = m.transpose();
    m_inv * tr
}

因為我們假定 up 向量並不與視線垂直，它只是一個大致的方位。因此我們需要計算出一組互相垂直的向量 x,y,z ，來構成新的坐標系。這裡的 ^ 是向量的外積運算符。我們在計算時還要求 x,y,z 是歸一化的，這是為了方便我們計算 $M^{-1}$，因為歸一化的正交矩陣的逆矩陣就是它的轉置矩陣。

我們讓 tr 矩陣的第四個元素是相機坐標的相反數，因為我們的新坐標系是以相機為原點的。

$$tr \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0&-e_x\\ 0&1&0&-e_y\\ 0&0&1&-e_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x-e_x\\ y-e_y\\ z-e_z\\ 1 \end{bmatrix}$$