EMS rule

EMS rule for balanced designs

for model

Y_{ijk} = \mu + A_i + B_j + AB_{ij} + \epsilon_{{ij}k}

$i=1,\cdots,a,\quad j=1,\cdots,b,\quad k=1,\cdots,n,\quad\varepsilon_{(ij)k}\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)$

根據以下過程製作一張表格：

接下來根據以下規則計算 EMS：

忽略該 trt 下標中，括號之外的所有 column （e.g. $A_i$ 忽略 $i$ col， $\varepsilon_{(ij)k}$ 忽略 $k$ col）。
找到所有包含該 trt 下標的所有 row，將其對應的 column 值相乘。
篩選出的 row 中，如果包含隨機效應，則其對應的方差為 $\sigma_\tau$ ，如果都是固定效應，則其對應的方差為 $\phi_\sigma$ 。
將 2. 和 3. 的結果相乘，並將每個 row 的結果相加，即為 EMS。

	i,F	j,R	k,R	EMS
$A_i$	0	b	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{AB}+bn\phi_A$
$B_j$	a	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+an\sigma_B$
$AB_{ij}$	0	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_{AB}$
$\varepsilon_{(ij)k}$	1	1	1	$\sigma_\varepsilon^2$

Source	SS	DF	MS	EMS	F-value	$H_0$
A	$a-1$	$SS_A$	$MS_A$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{AB}+bn\phi_A$	$MS_A/MS_{AB}$	$A$ has no effect
B	$b-1$	$SS_B$	$MS_B$	$\sigma_\varepsilon^2+an\sigma_B$	$MS_B/MS_E$	$B$ has no effect
AB	$(a-1)(b-1)$	$SS_{AB}$	$MS_{AB}$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_{AB}$	$MS_{AB}/MS_E$	$AB$ has no effect
Error	$ab(n-1)$	$SS_{\varepsilon}$	$MS_{\varepsilon}$	$\sigma_\varepsilon^2$
Total	$N-1$

F-value 的分子需要只比分母多出需要檢定效應的方差項。

Remark: if $n=1$ , i.e. one observation each treatment

\implies SS_E=\sum_i\sum_j\sum_k^1(Y_{ijk}-\bar{Y}_{ij.})^2=0 \quad\text{with }df=ab(n-1)=0

i.e. $MS_E$ is not defined.

EX:

Y_{ijkl} = \mu + A_i + B_j + C_k + AB_{ij} + AC_{ik} + BC_{jk} + ABC_{ijk} + \varepsilon_{(ijk)l}

	i,R	j,R	k,R	l,R	EMS	F-value
$A_i$	1	b	c	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+cn\sigma^2_{AB}+bn\sigma^2_{AC}+bcn\sigma^2_A$
$B_j$	a	1	c	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+an\sigma^2_{BC}+cn\sigma^2_{AB}+acn\sigma^2_B$
$C_k$	a	b	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+an\sigma^2_{BC}+bn\sigma^2_{AC}+abn\sigma^2_C$
$AB_{ij}$	1	1	c	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+cn\sigma^2_{AB}$	$MS_{AB}/MS_{ABC}$
$AC_{ik}$	1	b	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+bn\sigma^2_{AC}$	$MS_{AC}/MS_{ABC}$
$BC_{jk}$	a	1	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}+an\sigma^2_{BC}$	$MS_{BC}/MS_{ABC}$
$ABC_{ijk}$	1	1	1	n	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma^2_{ABC}$	$MS_{ABC}/MS_E$
$\varepsilon_{(ijk)l}$	1	1	1	1	$\sigma_\varepsilon^2$

$\implies$ $H_0:\sigma^2_A=0/\sigma^2_B=0/\sigma^2_C=0$ 並沒有檢定方法。因為沒有可以作為基礎的 EMS。

Remark: 如果 EMS rule 無法給出 effect 的檢定方法。可以用以下兩種方式：

Remakr: $\varepsilon_{(ij)k}$ 與 $\varepsilon_{ijk}$ 兩種符號的意義是不同的。前者表示 $k$ 在 $ij$ 效應下得到，意味著獲得數據的 trt 是隨機出現的，後者則代表數據是輪流獲得的。

Remark: 計算 SS

\begin{align*} (n-1)S^2&=\sum^n(X_i-\bar{X})^2\\ &=\sum^nX_i^2-n\bar{X}^2\\ &=\sum^nX_i^2-n\left(\frac{1}{n}\sum^nX_i\right)^2\\ &=\sum^nX_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum^nX_i\right)^2 \end{align*}

\begin{align*} \implies SS_E&=\sum_i^k\sum_j^n(Y_{ij}-\bar{Y}_{i\cdot})^2\\ &=\sum_i^k\sum_j^nY_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum_i^kY_{i\cdot}^2\\ SS_{trt}&=\sum_i^k\sum_j^n(\bar{Y}_{i\cdot}-\bar{Y}_{\cdot\cdot})^2\\ &=\sum_i^k\frac{Y_{i\cdot}^2}{n}-\frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{N} \end{align*}

EX: Fabric wear resistance data

$\implies$ CRD obtained:

\begin{align*} \implies SS_{total}&=\sum_i\sum_j(Y_{ij}-\bar{Y}_{\cdot\cdot})^2\\ &=\sum_i\sum_jY_{ij}^2-\frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{16}\\ &=92.9719-\frac{38.41^2}{16}\\ &=0.7639 \end{align*}\qquad \begin{align*} SS_{fabriic}&=\sum_i\sum_j(Y_{i\cdot}-\bar{Y}_{\cdot\cdot})^2\\ &=\sum_i\frac{Y_{i\cdot}^2}{4}-\frac{38.41^2}{16}\\ &=0.5201 \end{align*}

\implies SS_E=SS_{total}-SS_{fabric}=0.2438

$\implies$ AONVA table:

Source	SS	DF	MS	F-value	P-value
Fabric	0.5201	3	0.1734	8.53	$P(F_{3,12}>)=0.0026$
Error	0.2438	12	0.0203
Total	0.7639	15

$\implies$ reject $H_0$ at $\alpha=0.05$ level.

但這個結論幾乎說明不了任何問題，這只是分析的開始。