Randomized Complete Block Design (RCBD)

這個實驗方法的策略是通過將實驗單元分組，消除組（Block）間可能出現的變異，以此來增加實驗的準確性。

One factor

EX: 有 4 種牌子的輪胎：A,B,C,D，$Y=$ 跑 20000 公裡後的磨損量，我們想知道哪個牌子的輪胎最好。

$\implies$ factor: 4 levels and is fixed

• Design 1: 4 台車，每台車裝 1 種牌子的輪胎。

  這是一個不好的設計，因為輪子品牌的效應與車的效應混在一起，具有強相關性。

• Design 2 (CRD): 16 個輪胎完全隨機的分配到 4 台車的 4 個位置上。

  $Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$, 其中 $\tau_i$ 代表輪子的效應。收集到以下數據：

  Car1	Car2	Car3	Car4
  $C\mid 12$	$A\mid 14$	$C\mid 10$	$A\mid 13$
  $A\mid 17$	$A\mid 13$	$D\mid 11$	$D\mid 9$
  $D\mid 11$	$B\mid 14$	$B\mid 14$	$B\mid 8$
  $D\mid 14$	$C\mid 12$	$B\mid 13$	$C\mid 9$

  ANOVA:

  Source	SS	df	MS	F	p-value
  Brand	30.69	3	10.23	2.44	0.115
  Error	50.25	12	4.19
  Total	80.94	15

  i.e. 四個牌子的輪胎的平均磨損量沒有顯著差異。

  這個設計中同樣沒有控制車的效應。

• Design 3 (RCBD): 為了消除因為車帶來的潛在的變異

  Car1	Car2	Car3	Car4
  $C\mid 12$	$A\mid 14$	$C\mid 10$	$A\mid 13$
  $A\mid 17$	$A\mid 13$	$D\mid 11$	$D\mid 9$
  $D\mid 11$	$B\mid 14$	$B\mid 14$	$B\mid 8$
  $D\mid 14$	$C\mid 12$	$B\mid 13$	$C\mid 9$

RCBD 由以下幾個部分組成：

1. 每組包含所有的 trt。
2. 在一個組中，trt 隨機分配到實驗單元上。

設 trt 的數量為 $k$

Block 1	Block 2	$\cdots$	Block b
$\pi_1$	$\pi_1$	$\cdots$	$\pi_1$
$\pi_2$	$\pi_2$	$\cdots$	$\pi_2$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$\pi_a$	$\pi_a$	$\cdots$	$\pi_a$

其中 $(\pi_1,\cdot,\pi_a)$ 是 $(1,\cdots,a)$ 的隨機排列。

當我們得到具體數據：

Block 1	Block 2	$\cdots$	Block b
$Y_{11k}$	$Y_{12k}$	$\cdots$	$Y_{14k}$
$Y_{21k}$	$Y_{22k}$	$\cdots$	$Y_{24k}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$Y_{a1k}$	$Y_{a2k}$	$\cdots$	$Y_{a4k}$

並建模為：

$$\begin{gather*} Y_{ijk}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{(ij)k} \\ i=1,\cdots,a,\quad j=1,\cdots,b,\quad k=1,\cdots,n\xlongequal{\text{usually}}1 \end{gather*}$$

• $\tau_i$: trt 的效應
• $\beta_j$: block 的效應

我們通常會假設 trt 與 block 直接沒有交互作用。並且 block effect 通常假設為 random effect，以這個例子來說，這樣假設可以將沒有實驗的車種的效應也納入考慮。

$\implies$ 以上數據的 ANOVA(RCBD)：

Source	df	SS	MS	F	p-value
Brand	3	30.69	10.2	7.8	$P(F_{3,9}>)=0$
Block	3	38.69	12.9
Error	9	11.56	1.3
Total	15	80.94

$\implies H_0:$ No brand effect 可以在 5% 的顯著水準下被拒絕。

Remark:

1. fixed effect 通常比 random effect 更重要。
2. F 統計量的分母的自由度越高，則檢定的 power 越高。

When to use RCBD

在處理 paired data 時，我們將每對數據視為一個 block，來進行 RCBD。

AONVA with $n=1\implies N=ab$

• RCBD: $Y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j\varepsilon_{ij}$
• CRD: $Y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}$

	df(RCBD)	df(RCBD)
Trt	a-1	a-1
Block	b-1
Error	(a-1)(b-1)	a(b-1)
Total	ab-1	ab-1

$$\begin{align*} \implies& SS_{E,CRD}=SS_{E,RCBD}+SS_{Block} \\ \implies& \hat{\sigma}^2_{\varepsilon,CRD}=\frac{SS_{E,CRD}}{a(b-1)}=\frac{SS_{E,RCBD}+SS_{Block}}{a(b-1)} \\ \end{align*}$$

$\implies$ 比較 RCBD 和 CRD 產生的 $\hat{\sigma}^2_{\varepsilon}$ 的差異。如果有很大差異，則代表 RCBD 的效果很好。如果沒有差異，代表我們沒有必要使用 RCBD。

e.g.

	df	SS	MS
Brand	3	30.69	10.2
Block	3	38.69	12.9
Error	9	11.56	1.3
Total	15	80.94

$$\implies \hat{\sigma}^2_{\varepsilon,CRD}=\frac{38.69+11.56}{3+9}=4.1875\implies \frac{\hat{\sigma}^2_{\varepsilon,CRD}}{\hat{\sigma}^2_{\varepsilon,RCBD}}=\frac{4.1875}{1.3}=3.22$$

RCBD 的效果比 CRD 好了 3.22 倍。也就是說，如果想要 CRD 有和 RCBD 一樣的效果，需要 3.22 倍的樣本數。

Definition

Nuisance factor: 可能有影響但不感興趣的 factor。

對於不同類型的 nuisance factor，我們可以使用不同的方法來處理：

1. 未知且不可控：使用隨機化來平衡其影響。
2. 已知但不可控：ANCOVA (Analysis of Covariance)。
3. 已知且可控：Blocking。

Latin Square Design

在輪子的例子中，不僅車的不同可能會造成影響，輪子安裝位置的不同也可能有影響。如果兩個因素都考慮進去，那麼我們就會有兩個方向的 block，這就是 Latin Square Design。

Definition

$p\times p$ Latin Square Design

1. 必須是正方形，其中 $p$ 是 trt 的數量。
2. 每行每列中，每個 trt 只能出現一次 （類似數獨）。

e.g. Latin square 4x4

	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	B	C	D	A
3	C	D	A	B
4	D	A	B	C

不同邊長的 Latin square 的組合數是固定的。因此我們可以計算出所有可能的組合，然後隨機選擇一個，將對應的 trt 分配到實驗單元上。

等價的，我們也可以計算出最簡單的組合，然後將實驗單元隨機分配到每個格子上。

One factor Latin Square Design

$$\begin{gather*} Y_{ijk}=\mu+\tau_i+\beta_j+\gamma_k+\varepsilon_{ijk}\\ i=1,\cdots,p,\quad j=1,\cdots,p,\quad k=k(i,j)\in\{1,\cdots,p\} \end{gather*}$$

• $\tau$: 感興趣的效應
• $\beta$: 一個方向的 block 的效應
• $\gamma$: 另一個方向的 block 的效應

	total	$\tau$	$\beta$	$\gamma$	error
df	$p^2-1$	$p-1$	$p-1$	$p-1$	$(p-2)(p-1)$

繼續使用輪胎的例子，我們將輪子位置和車的效應都納入考慮：

pos\car	1	2	3	4
1	$C\mid12$	$D\mid11$	$A\mid13$	$B\mid8$	44
2	$B\mid14$	$C\mid12$	$D\mid11$	$A\mid13$	50
3	$A\mid17$	$B\mid14$	$C\mid10$	$D\mid9$	50
4	$D\mid13$	$A\mid14$	$B\mid13$	$C\mid9$	49
	56	51	47	39	193

$$\implies SS_{pos}=\frac{44^2+50^2+50^2+49^2}{4}-\frac{193^2}{16}=6.19$$

ANOVA (Latin Square):

	df	SS	MS	F	p-value
Brand	3	30.69	10.2292	11.42	0.007
Car	3	38.69	12.8958
Pos	3	6.19	2.062
Error	6	5.37	0.8958
Total	15	80.94

$\implies$ Brands 之間有顯著差異。

用 SNK test 來選擇最好的品牌：

1. $MS_E=0.8958$ with $df=6$ $\implies S_{\bar{Y}_{\cdot}}=\sqrt{\frac{MS_E}{n}}=\sqrt{\frac{0.8958}{4}}=0.047$

2. $p$	2	3	4
   $q_{0.05}(p,6)$	3.46	4.34	4.9
   $SNK_{0.05}(p)$	1.63	2.04	2.3

3. 	C	D	B	A
   Sample mean	10.75	11.00	12.25	14.25

   diff&critical	D	B	A
   C	$0.25\not >1.63$	$1.5\not >2.4$	$3.5>2.3$
   D		$1.25\not >1.63$	$2.25>2.04$
   B			$2>1.63$

   $\implies$ A 显著大于其他品牌，而 B,C,D 之间没有显著差异。