Nested-Factor Design

e.g. 如果要判斷不同地區學生的能力，我們可以對每個地區抽 3 個學生做測試。這樣我們有兩個因素：4 個地區和 3 個學生。但每個地區選的學生不可能一樣，並且對於一個學生，他只能是他所在地區的一部分，而不可能轉移到其他地區。也就是說學生因素是嵌套在地區因素裡的。

Definition

Factor $B$ is nested in factor A $\iff$ the levels of B are similar but not identical at each level of A.

2 factors with B is nested in A:

\begin{gather*} Y_[ijk]=\mu+A_i+B_{j(i)}+\varepsilon_{(ij)k}\\ i=1,\cdots,a,\quad j=1,\cdots,b_i,\quad k=1,\cdots,n\quad\varepsilon_{(ij)k}\overset{\text{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2) \end{gather*}

在這個實驗中不會存在 A 和 B 的交互作用，因為 A 的不同等級下，B 的等級是不一樣的。因此不會有 B 的某些效應在不同的 A 等級下的效果。

ANOVA with EMS:

	df	i(F/R)	j(F/R)	k(R)	A:F, B:F	A:F, B:R	A:R, B:R
$A_i$	$a-1$	$0/n$	$b$	$n$	$\sigma_\varepsilon^2+nb\phi_A$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_B^2+nb\phi_A$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_B^2+nb\sigma^2_A$
$B_{j}(i)$	$a(b-1)$	$1$	$0/1$	$n$	$\sigma_\varepsilon^2+n\phi_B$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_B^2$	$\sigma_\varepsilon^2+n\sigma_B^2$
$\varepsilon_{(ij)k}$	$ab(n-1)$	$1$	$1$	$1$	$\sigma_\varepsilon^2$	$\sigma_\varepsilon^2$	$\sigma_\varepsilon^2$
total	$abn-1$

Remark: B 嵌套在 A 中時，通常因素 A 是我們關心的，因此 A 通常是固定的，而 B 通常是隨機的。

ANOVA

SS_{B(A)}=\sum_{i=1}^a(SS_B|A=i)

$SS_A,SS_T$ 的計算與之前的一樣。

EX: 為了選出最好的供應商，要求 A,B,C 三家供應商提供 4 批次的產品，每批次 3 個樣本。我們要測試供應商和批次是否有影響。

Suppliers	A	A	A	A	B	B	B	B	C	C	C	C
Batch	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
Data 1	1	-2	-2	1	1	0	-1	0	2	-2	1	3
Data 2	-1	-3	0	4	-2	4	0	3	4	0	-1	2
Data 3	0	-4	1	0	-3	2	-2	2	0	2	2	1
Total	0	-9	-1	5	-4	6	-3	5	6	0	2	6

Group	A	B	C	Total
Total	-5	4	14	13

\begin{align*} SS_{Total}&=148.31\\ SS_{Suppliers}&=\frac{(-5)^2+4^2+14^2}{12}-\frac{13^2}{36}=15.06\\ SS_{Batch(Suppliers)}&=33.544_{(A)}+27.333_{(B)}+9_{(C)}=69.92\\ \end{align*}

$\implies$ ANOVA

i.e. 在某個供應商下，不同批次的產品有顯著差異。 $\implies$ A 供應商下的批次有顯著差異。